\(\int \cos ^5(c+d x) \sin ^n(c+d x) (a+b \sin (c+d x))^2 \, dx\) [1235]

Optimal result

Integrand size = 29, antiderivative size = 170 \[ \int \cos ^5(c+d x) \sin ^n(c+d x) (a+b \sin (c+d x))^2 \, dx=\frac {a^2 \sin ^{1+n}(c+d x)}{d (1+n)}+\frac {2 a b \sin ^{2+n}(c+d x)}{d (2+n)}-\frac {\left (2 a^2-b^2\right ) \sin ^{3+n}(c+d x)}{d (3+n)}-\frac {4 a b \sin ^{4+n}(c+d x)}{d (4+n)}+\frac {\left (a^2-2 b^2\right ) \sin ^{5+n}(c+d x)}{d (5+n)}+\frac {2 a b \sin ^{6+n}(c+d x)}{d (6+n)}+\frac {b^2 \sin ^{7+n}(c+d x)}{d (7+n)} \]

[Out]

a^2*sin(d*x+c)^(1+n)/d/(1+n)+2*a*b*sin(d*x+c)^(2+n)/d/(2+n)-(2*a^2-b^2)*sin(d*x+c)^(3+n)/d/(3+n)-4*a*b*sin(d*x
+c)^(4+n)/d/(4+n)+(a^2-2*b^2)*sin(d*x+c)^(5+n)/d/(5+n)+2*a*b*sin(d*x+c)^(6+n)/d/(6+n)+b^2*sin(d*x+c)^(7+n)/d/(
7+n)

Rubi [A] (verified)

Time = 0.15 (sec) , antiderivative size = 170, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 3, number of rules used = 2, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.069, Rules used = {2916, 962} \[ \int \cos ^5(c+d x) \sin ^n(c+d x) (a+b \sin (c+d x))^2 \, dx=-\frac {\left (2 a^2-b^2\right ) \sin ^{n+3}(c+d x)}{d (n+3)}+\frac {\left (a^2-2 b^2\right ) \sin ^{n+5}(c+d x)}{d (n+5)}+\frac {a^2 \sin ^{n+1}(c+d x)}{d (n+1)}+\frac {2 a b \sin ^{n+2}(c+d x)}{d (n+2)}-\frac {4 a b \sin ^{n+4}(c+d x)}{d (n+4)}+\frac {2 a b \sin ^{n+6}(c+d x)}{d (n+6)}+\frac {b^2 \sin ^{n+7}(c+d x)}{d (n+7)} \]

[In]

Int[Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^n*(a + b*Sin[c + d*x])^2,x]

[Out]

(a^2*Sin[c + d*x]^(1 + n))/(d*(1 + n)) + (2*a*b*Sin[c + d*x]^(2 + n))/(d*(2 + n)) - ((2*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x
]^(3 + n))/(d*(3 + n)) - (4*a*b*Sin[c + d*x]^(4 + n))/(d*(4 + n)) + ((a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x]^(5 + n))/(d*(5
+ n)) + (2*a*b*Sin[c + d*x]^(6 + n))/(d*(6 + n)) + (b^2*Sin[c + d*x]^(7 + n))/(d*(7 + n))

Rule 962

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIn
tegrand[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(a + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && NeQ[e*f - d*g, 0] &&
NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && IGtQ[p, 0] && (IGtQ[m, 0] || (EqQ[m, -2] && EqQ[p, 1] && EqQ[d, 0]))

Rule 2916

Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)
*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Dist[1/(b^p*f), Subst[Int[(a + x)^m*(c + (d/b)*x)^n*(b^2 - x^2)^((p - 1)/2), x], x
, b*Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && IntegerQ[(p - 1)/2] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {\text {Subst}\left (\int \left (\frac {x}{b}\right )^n (a+x)^2 \left (b^2-x^2\right )^2 \, dx,x,b \sin (c+d x)\right )}{b^5 d} \\ & = \frac {\text {Subst}\left (\int \left (a^2 b^4 \left (\frac {x}{b}\right )^n+2 a b^5 \left (\frac {x}{b}\right )^{1+n}-b^4 \left (2 a^2-b^2\right ) \left (\frac {x}{b}\right )^{2+n}-4 a b^5 \left (\frac {x}{b}\right )^{3+n}+b^4 \left (a^2-2 b^2\right ) \left (\frac {x}{b}\right )^{4+n}+2 a b^5 \left (\frac {x}{b}\right )^{5+n}+b^6 \left (\frac {x}{b}\right )^{6+n}\right ) \, dx,x,b \sin (c+d x)\right )}{b^5 d} \\ & = \frac {a^2 \sin ^{1+n}(c+d x)}{d (1+n)}+\frac {2 a b \sin ^{2+n}(c+d x)}{d (2+n)}-\frac {\left (2 a^2-b^2\right ) \sin ^{3+n}(c+d x)}{d (3+n)}-\frac {4 a b \sin ^{4+n}(c+d x)}{d (4+n)}+\frac {\left (a^2-2 b^2\right ) \sin ^{5+n}(c+d x)}{d (5+n)}+\frac {2 a b \sin ^{6+n}(c+d x)}{d (6+n)}+\frac {b^2 \sin ^{7+n}(c+d x)}{d (7+n)} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 0.46 (sec) , antiderivative size = 139, normalized size of antiderivative = 0.82 \[ \int \cos ^5(c+d x) \sin ^n(c+d x) (a+b \sin (c+d x))^2 \, dx=\frac {\sin ^{1+n}(c+d x) \left (\frac {a^2}{1+n}+\frac {2 a b \sin (c+d x)}{2+n}-\frac {\left (2 a^2-b^2\right ) \sin ^2(c+d x)}{3+n}-\frac {4 a b \sin ^3(c+d x)}{4+n}+\frac {\left (a^2-2 b^2\right ) \sin ^4(c+d x)}{5+n}+\frac {2 a b \sin ^5(c+d x)}{6+n}+\frac {b^2 \sin ^6(c+d x)}{7+n}\right )}{d} \]

[In]

Integrate[Cos[c + d*x]^5*Sin[c + d*x]^n*(a + b*Sin[c + d*x])^2,x]

[Out]

(Sin[c + d*x]^(1 + n)*(a^2/(1 + n) + (2*a*b*Sin[c + d*x])/(2 + n) - ((2*a^2 - b^2)*Sin[c + d*x]^2)/(3 + n) - (
4*a*b*Sin[c + d*x]^3)/(4 + n) + ((a^2 - 2*b^2)*Sin[c + d*x]^4)/(5 + n) + (2*a*b*Sin[c + d*x]^5)/(6 + n) + (b^2
*Sin[c + d*x]^6)/(7 + n)))/d

Maple [A] (verified)

Time = 9.54 (sec) , antiderivative size = 225, normalized size of antiderivative = 1.32

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {a^{2} \sin \left (d x +c \right ) {\mathrm e}^{n \ln \left (\sin \left (d x +c \right )\right )}}{d \left (1+n \right )}+\frac {b^{2} \left (\sin ^{7}\left (d x +c \right )\right ) {\mathrm e}^{n \ln \left (\sin \left (d x +c \right )\right )}}{d \left (7+n \right )}+\frac {\left (a^{2}-2 b^{2}\right ) \left (\sin ^{5}\left (d x +c \right )\right ) {\mathrm e}^{n \ln \left (\sin \left (d x +c \right )\right )}}{d \left (5+n \right )}-\frac {\left (2 a^{2}-b^{2}\right ) \left (\sin ^{3}\left (d x +c \right )\right ) {\mathrm e}^{n \ln \left (\sin \left (d x +c \right )\right )}}{d \left (3+n \right )}+\frac {2 a b \left (\sin ^{2}\left (d x +c \right )\right ) {\mathrm e}^{n \ln \left (\sin \left (d x +c \right )\right )}}{d \left (2+n \right )}-\frac {4 a b \left (\sin ^{4}\left (d x +c \right )\right ) {\mathrm e}^{n \ln \left (\sin \left (d x +c \right )\right )}}{d \left (4+n \right )}+\frac {2 a b \left (\sin ^{6}\left (d x +c \right )\right ) {\mathrm e}^{n \ln \left (\sin \left (d x +c \right )\right )}}{d \left (6+n \right )}\)	\(225\)
default	\(\frac {a^{2} \sin \left (d x +c \right ) {\mathrm e}^{n \ln \left (\sin \left (d x +c \right )\right )}}{d \left (1+n \right )}+\frac {b^{2} \left (\sin ^{7}\left (d x +c \right )\right ) {\mathrm e}^{n \ln \left (\sin \left (d x +c \right )\right )}}{d \left (7+n \right )}+\frac {\left (a^{2}-2 b^{2}\right ) \left (\sin ^{5}\left (d x +c \right )\right ) {\mathrm e}^{n \ln \left (\sin \left (d x +c \right )\right )}}{d \left (5+n \right )}-\frac {\left (2 a^{2}-b^{2}\right ) \left (\sin ^{3}\left (d x +c \right )\right ) {\mathrm e}^{n \ln \left (\sin \left (d x +c \right )\right )}}{d \left (3+n \right )}+\frac {2 a b \left (\sin ^{2}\left (d x +c \right )\right ) {\mathrm e}^{n \ln \left (\sin \left (d x +c \right )\right )}}{d \left (2+n \right )}-\frac {4 a b \left (\sin ^{4}\left (d x +c \right )\right ) {\mathrm e}^{n \ln \left (\sin \left (d x +c \right )\right )}}{d \left (4+n \right )}+\frac {2 a b \left (\sin ^{6}\left (d x +c \right )\right ) {\mathrm e}^{n \ln \left (\sin \left (d x +c \right )\right )}}{d \left (6+n \right )}\)	\(225\)
parallelrisch	\(\frac {\left (\sin ^{n}\left (d x +c \right )\right ) \left (\frac {3 \left (4+n \right ) \left (\left (a^{2}+\frac {b^{2}}{4}\right ) n^{2}+\frac {2 \left (23 a^{2}+5 b^{2}\right ) n}{3}+\frac {175 a^{2}}{3}-\frac {35 b^{2}}{12}\right ) \left (1+n \right ) \left (2+n \right ) \left (6+n \right ) \sin \left (3 d x +3 c \right )}{2}+\frac {\left (4+n \right ) \left (1+n \right ) \left (2+n \right ) \left (6+n \right ) \left (\left (a^{2}-\frac {b^{2}}{4}\right ) n +7 a^{2}-\frac {21 b^{2}}{4}\right ) \left (3+n \right ) \sin \left (5 d x +5 c \right )}{2}+\frac {a b \left (7+n \right ) \left (5+n \right ) \left (3+n \right ) \left (1+n \right ) \left (n^{2}+6 n -120\right ) \cos \left (2 d x +2 c \right )}{2}-a b \left (n +12\right ) \left (7+n \right ) \left (5+n \right ) \left (3+n \right ) \left (2+n \right ) \left (1+n \right ) \cos \left (4 d x +4 c \right )-\frac {a b \left (7+n \right ) \left (5+n \right ) \left (4+n \right ) \left (3+n \right ) \left (2+n \right ) \left (1+n \right ) \cos \left (6 d x +6 c \right )}{2}-\frac {b^{2} \left (6+n \right ) \left (5+n \right ) \left (4+n \right ) \left (3+n \right ) \left (2+n \right ) \left (1+n \right ) \sin \left (7 d x +7 c \right )}{8}+\left (4+n \right ) \left (2+n \right ) \left (6+n \right ) \left (\left (a^{2}+\frac {3 b^{2}}{8}\right ) n^{3}+\left (19 a^{2}+\frac {59 b^{2}}{8}\right ) n^{2}+\left (159 a^{2}+\frac {581 b^{2}}{8}\right ) n +525 a^{2}+\frac {525 b^{2}}{8}\right ) \sin \left (d x +c \right )+a b \left (7+n \right ) \left (5+n \right ) \left (3+n \right ) \left (1+n \right ) \left (n^{2}+14 n +88\right )\right )}{8 d \left (5+n \right ) \left (7+n \right ) \left (3+n \right ) \left (1+n \right ) \left (4+n \right ) \left (2+n \right ) \left (6+n \right )}\)	\(377\)

[In]

int(cos(d*x+c)^5*sin(d*x+c)^n*(a+b*sin(d*x+c))^2,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

a^2/d/(1+n)*sin(d*x+c)*exp(n*ln(sin(d*x+c)))+b^2/d/(7+n)*sin(d*x+c)^7*exp(n*ln(sin(d*x+c)))+(a^2-2*b^2)/d/(5+n
)*sin(d*x+c)^5*exp(n*ln(sin(d*x+c)))-(2*a^2-b^2)/d/(3+n)*sin(d*x+c)^3*exp(n*ln(sin(d*x+c)))+2*a*b/d/(2+n)*sin(
d*x+c)^2*exp(n*ln(sin(d*x+c)))-4*a*b/d/(4+n)*sin(d*x+c)^4*exp(n*ln(sin(d*x+c)))+2*a*b/d/(6+n)*sin(d*x+c)^6*exp
(n*ln(sin(d*x+c)))

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 572 vs. \(2 (170) = 340\).

Time = 0.40 (sec) , antiderivative size = 572, normalized size of antiderivative = 3.36 \[ \int \cos ^5(c+d x) \sin ^n(c+d x) (a+b \sin (c+d x))^2 \, dx=-\frac {{\left (2 \, {\left (a b n^{6} + 22 \, a b n^{5} + 190 \, a b n^{4} + 820 \, a b n^{3} + 1849 \, a b n^{2} + 2038 \, a b n + 840 \, a b\right )} \cos \left (d x + c\right )^{6} - 16 \, a b n^{4} - 256 \, a b n^{3} - 2 \, {\left (a b n^{6} + 18 \, a b n^{5} + 118 \, a b n^{4} + 348 \, a b n^{3} + 457 \, a b n^{2} + 210 \, a b n\right )} \cos \left (d x + c\right )^{4} - 1376 \, a b n^{2} - 2816 \, a b n - 8 \, {\left (a b n^{5} + 16 \, a b n^{4} + 86 \, a b n^{3} + 176 \, a b n^{2} + 105 \, a b n\right )} \cos \left (d x + c\right )^{2} - 1680 \, a b + {\left ({\left (b^{2} n^{6} + 21 \, b^{2} n^{5} + 175 \, b^{2} n^{4} + 735 \, b^{2} n^{3} + 1624 \, b^{2} n^{2} + 1764 \, b^{2} n + 720 \, b^{2}\right )} \cos \left (d x + c\right )^{6} - 8 \, {\left (a^{2} + b^{2}\right )} n^{4} - {\left ({\left (a^{2} + b^{2}\right )} n^{6} + {\left (23 \, a^{2} + 17 \, b^{2}\right )} n^{5} + 3 \, {\left (69 \, a^{2} + 37 \, b^{2}\right )} n^{4} + 5 \, {\left (185 \, a^{2} + 71 \, b^{2}\right )} n^{3} + 8 \, {\left (268 \, a^{2} + 73 \, b^{2}\right )} n^{2} + 1008 \, a^{2} + 144 \, b^{2} + 36 \, {\left (67 \, a^{2} + 13 \, b^{2}\right )} n\right )} \cos \left (d x + c\right )^{4} - 8 \, {\left (19 \, a^{2} + 13 \, b^{2}\right )} n^{3} - 64 \, {\left (16 \, a^{2} + 7 \, b^{2}\right )} n^{2} - 4 \, {\left ({\left (a^{2} + b^{2}\right )} n^{5} + 2 \, {\left (10 \, a^{2} + 7 \, b^{2}\right )} n^{4} + 3 \, {\left (49 \, a^{2} + 23 \, b^{2}\right )} n^{3} + 4 \, {\left (121 \, a^{2} + 37 \, b^{2}\right )} n^{2} + 336 \, a^{2} + 48 \, b^{2} + 4 \, {\left (173 \, a^{2} + 35 \, b^{2}\right )} n\right )} \cos \left (d x + c\right )^{2} - 2688 \, a^{2} - 384 \, b^{2} - 32 \, {\left (89 \, a^{2} + 23 \, b^{2}\right )} n\right )} \sin \left (d x + c\right )\right )} \sin \left (d x + c\right )^{n}}{d n^{7} + 28 \, d n^{6} + 322 \, d n^{5} + 1960 \, d n^{4} + 6769 \, d n^{3} + 13132 \, d n^{2} + 13068 \, d n + 5040 \, d} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^5*sin(d*x+c)^n*(a+b*sin(d*x+c))^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

-(2*(a*b*n^6 + 22*a*b*n^5 + 190*a*b*n^4 + 820*a*b*n^3 + 1849*a*b*n^2 + 2038*a*b*n + 840*a*b)*cos(d*x + c)^6 -
16*a*b*n^4 - 256*a*b*n^3 - 2*(a*b*n^6 + 18*a*b*n^5 + 118*a*b*n^4 + 348*a*b*n^3 + 457*a*b*n^2 + 210*a*b*n)*cos(
d*x + c)^4 - 1376*a*b*n^2 - 2816*a*b*n - 8*(a*b*n^5 + 16*a*b*n^4 + 86*a*b*n^3 + 176*a*b*n^2 + 105*a*b*n)*cos(d
*x + c)^2 - 1680*a*b + ((b^2*n^6 + 21*b^2*n^5 + 175*b^2*n^4 + 735*b^2*n^3 + 1624*b^2*n^2 + 1764*b^2*n + 720*b^
2)*cos(d*x + c)^6 - 8*(a^2 + b^2)*n^4 - ((a^2 + b^2)*n^6 + (23*a^2 + 17*b^2)*n^5 + 3*(69*a^2 + 37*b^2)*n^4 + 5
*(185*a^2 + 71*b^2)*n^3 + 8*(268*a^2 + 73*b^2)*n^2 + 1008*a^2 + 144*b^2 + 36*(67*a^2 + 13*b^2)*n)*cos(d*x + c)
^4 - 8*(19*a^2 + 13*b^2)*n^3 - 64*(16*a^2 + 7*b^2)*n^2 - 4*((a^2 + b^2)*n^5 + 2*(10*a^2 + 7*b^2)*n^4 + 3*(49*a
^2 + 23*b^2)*n^3 + 4*(121*a^2 + 37*b^2)*n^2 + 336*a^2 + 48*b^2 + 4*(173*a^2 + 35*b^2)*n)*cos(d*x + c)^2 - 2688
*a^2 - 384*b^2 - 32*(89*a^2 + 23*b^2)*n)*sin(d*x + c))*sin(d*x + c)^n/(d*n^7 + 28*d*n^6 + 322*d*n^5 + 1960*d*n
^4 + 6769*d*n^3 + 13132*d*n^2 + 13068*d*n + 5040*d)

Sympy [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 18260 vs. \(2 (144) = 288\).

Time = 16.50 (sec) , antiderivative size = 18260, normalized size of antiderivative = 107.41 \[ \int \cos ^5(c+d x) \sin ^n(c+d x) (a+b \sin (c+d x))^2 \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)**5*sin(d*x+c)**n*(a+b*sin(d*x+c))**2,x)

[Out]

Piecewise((x*(a + b*sin(c))**2*sin(c)**n*cos(c)**5, Eq(d, 0)), (-a**2/(6*d*sin(c + d*x)**2) + a**2*cos(c + d*x
)**2/(6*d*sin(c + d*x)**4) - a**2*cos(c + d*x)**4/(6*d*sin(c + d*x)**6) - 16*a*b/(15*d*sin(c + d*x)) + 8*a*b*c
os(c + d*x)**2/(15*d*sin(c + d*x)**3) - 2*a*b*cos(c + d*x)**4/(5*d*sin(c + d*x)**5) + b**2*log(sin(c + d*x))/d
+ b**2*cos(c + d*x)**2/(2*d*sin(c + d*x)**2) - b**2*cos(c + d*x)**4/(4*d*sin(c + d*x)**4), Eq(n, -7)), (-8*a*
*2/(15*d*sin(c + d*x)) + 4*a**2*cos(c + d*x)**2/(15*d*sin(c + d*x)**3) - a**2*cos(c + d*x)**4/(5*d*sin(c + d*x
)**5) + 2*a*b*log(sin(c + d*x))/d + a*b*cos(c + d*x)**2/(d*sin(c + d*x)**2) - a*b*cos(c + d*x)**4/(2*d*sin(c +
d*x)**4) + 8*b**2*sin(c + d*x)/(3*d) + 4*b**2*cos(c + d*x)**2/(3*d*sin(c + d*x)) - b**2*cos(c + d*x)**4/(3*d*
sin(c + d*x)**3), Eq(n, -6)), (-192*a**2*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**8/(192*d*tan(c/2 + d*x
/2)**8 + 384*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 192*d*tan(c/2 + d*x/2)**4) - 384*a**2*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/
2 + d*x/2)**6/(192*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 384*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 192*d*tan(c/2 + d*x/2)**4) - 192*a**2*l
og(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**4/(192*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 384*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 192*d
*tan(c/2 + d*x/2)**4) + 192*a**2*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)**8/(192*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 384*d*
tan(c/2 + d*x/2)**6 + 192*d*tan(c/2 + d*x/2)**4) + 384*a**2*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)**6/(192*d*t
an(c/2 + d*x/2)**8 + 384*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 192*d*tan(c/2 + d*x/2)**4) + 192*a**2*log(tan(c/2 + d*x/2))*t
an(c/2 + d*x/2)**4/(192*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 384*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 192*d*tan(c/2 + d*x/2)**4) - 3*a**
2*tan(c/2 + d*x/2)**12/(192*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 384*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 192*d*tan(c/2 + d*x/2)**4) + 3
0*a**2*tan(c/2 + d*x/2)**10/(192*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 384*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 192*d*tan(c/2 + d*x/2)**4
) - 66*a**2*tan(c/2 + d*x/2)**6/(192*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 384*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 192*d*tan(c/2 + d*x/2
)**4) + 30*a**2*tan(c/2 + d*x/2)**2/(192*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 384*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 192*d*tan(c/2 + d
*x/2)**4) - 3*a**2/(192*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 384*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 192*d*tan(c/2 + d*x/2)**4) - 16*a*
b*tan(c/2 + d*x/2)**11/(192*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 384*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 192*d*tan(c/2 + d*x/2)**4) + 3
04*a*b*tan(c/2 + d*x/2)**9/(192*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 384*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 192*d*tan(c/2 + d*x/2)**4)
+ 1760*a*b*tan(c/2 + d*x/2)**7/(192*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 384*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 192*d*tan(c/2 + d*x/2
)**4) + 1760*a*b*tan(c/2 + d*x/2)**5/(192*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 384*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 192*d*tan(c/2 +
d*x/2)**4) + 304*a*b*tan(c/2 + d*x/2)**3/(192*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 384*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 192*d*tan(c/
2 + d*x/2)**4) - 16*a*b*tan(c/2 + d*x/2)/(192*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 384*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 192*d*tan(c/
2 + d*x/2)**4) + 384*b**2*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**8/(192*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 384*d*
tan(c/2 + d*x/2)**6 + 192*d*tan(c/2 + d*x/2)**4) + 768*b**2*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**6/(
192*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 384*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 192*d*tan(c/2 + d*x/2)**4) + 384*b**2*log(tan(c/2 + d*
x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**4/(192*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 384*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 192*d*tan(c/2 + d*x/
2)**4) - 384*b**2*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)**8/(192*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 384*d*tan(c/2 + d*x/2
)**6 + 192*d*tan(c/2 + d*x/2)**4) - 768*b**2*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)**6/(192*d*tan(c/2 + d*x/2)
**8 + 384*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 192*d*tan(c/2 + d*x/2)**4) - 384*b**2*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)
**4/(192*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 384*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 192*d*tan(c/2 + d*x/2)**4) - 24*b**2*tan(c/2 + d*
x/2)**10/(192*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 384*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 192*d*tan(c/2 + d*x/2)**4) + 432*b**2*tan(c/
2 + d*x/2)**6/(192*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 384*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 192*d*tan(c/2 + d*x/2)**4) - 24*b**2*ta
n(c/2 + d*x/2)**2/(192*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 384*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 192*d*tan(c/2 + d*x/2)**4), Eq(n, -
5)), (-a**2*tan(c/2 + d*x/2)**12/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)*
*5 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**3) + 18*a**2*tan(c/2 + d*x/2)**10/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2
)**7 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**3) + 129*a**2*tan(c/2 + d*x/2)**8/(24*d*tan(c/2 + d*x
/2)**9 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**3) + 220*a**2*tan(c/2 +
d*x/2)**6/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 24*d*tan(c/2 + d*x
/2)**3) + 129*a**2*tan(c/2 + d*x/2)**4/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 72*d*tan(c/2 + d
*x/2)**5 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**3) + 18*a**2*tan(c/2 + d*x/2)**2/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 72*d*tan(c/2 +
d*x/2)**7 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**3) - a**2/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 72*d*tan(c
/2 + d*x/2)**7 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**3) + 96*a*b*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*ta
n(c/2 + d*x/2)**9/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 24*d*tan(c
/2 + d*x/2)**3) + 288*a*b*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**7/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 72*d*ta
n(c/2 + d*x/2)**7 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**3) + 288*a*b*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1
)*tan(c/2 + d*x/2)**5/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 24*d*t
an(c/2 + d*x/2)**3) + 96*a*b*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**3/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 72*d
*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**3) - 96*a*b*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan
(c/2 + d*x/2)**9/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 24*d*tan(c/
2 + d*x/2)**3) - 288*a*b*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)**7/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 72*d*tan(c/2 +
d*x/2)**7 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**3) - 288*a*b*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x
/2)**5/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)
**3) - 96*a*b*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)**3/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 +
72*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**3) - 6*a*b*tan(c/2 + d*x/2)**11/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 +
72*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**3) + 126*a*b*tan(c/2 + d*x/2)**7
/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**3) +
126*a*b*tan(c/2 + d*x/2)**5/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 +
24*d*tan(c/2 + d*x/2)**3) - 6*a*b*tan(c/2 + d*x/2)/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 72*
d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**3) - 12*b**2*tan(c/2 + d*x/2)**10/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 7
2*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**3) - 144*b**2*tan(c/2 + d*x/2)**8/
(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**3) -
200*b**2*tan(c/2 + d*x/2)**6/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 +
24*d*tan(c/2 + d*x/2)**3) - 144*b**2*tan(c/2 + d*x/2)**4/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**7
+ 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**3) - 12*b**2*tan(c/2 + d*x/2)**2/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**
9 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 72*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**3), Eq(n, -4)), (48*a**2*log(
tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**10/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*ta
n(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) + 192*a**2*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 +
1)*tan(c/2 + d*x/2)**8/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*
d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) + 288*a**2*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**6/
(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 +
24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) + 192*a**2*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**4/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)*
*10 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)*
*2) + 48*a**2*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**2/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*tan(c/2 + d*x
/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) - 48*a**2*log(tan(c/
2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)**10/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2
)**6 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) - 192*a**2*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)*
*8/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**
4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) - 288*a**2*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)**6/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10
+ 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2)
- 192*a**2*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)**4/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 1
44*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) - 48*a**2*log(tan(c/2 + d*x/2)
)*tan(c/2 + d*x/2)**2/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d
*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) - 3*a**2*tan(c/2 + d*x/2)**12/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96
*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) + 75
*a**2*tan(c/2 + d*x/2)**8/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 +
96*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) + 144*a**2*tan(c/2 + d*x/2)**6/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10
+ 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2)
+ 75*a**2*tan(c/2 + d*x/2)**4/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)*
*6 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) - 3*a**2/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*tan(c/2 +
d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) - 24*a*b*tan(c/2
+ d*x/2)**11/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d*tan(c/2
+ d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) - 312*a*b*tan(c/2 + d*x/2)**9/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*tan(c
/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) - 688*a*b*ta
n(c/2 + d*x/2)**7/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d*tan
(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) - 688*a*b*tan(c/2 + d*x/2)**5/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*t
an(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) - 312*a*
b*tan(c/2 + d*x/2)**3/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d
*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) - 24*a*b*tan(c/2 + d*x/2)/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*t
an(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) - 24*b**
2*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**10/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 14
4*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) - 96*b**2*log(tan(c/2 + d*x/2)*
*2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**8/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6
+ 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) - 144*b**2*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2
)**6/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)
**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) - 96*b**2*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**4/(24*d*tan(c/2 + d*x
/2)**10 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x
/2)**2) - 24*b**2*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**2/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*tan(c/2 +
d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) + 24*b**2*log(ta
n(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)**10/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d
*x/2)**6 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) + 96*b**2*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/
2)**8/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2
)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) + 144*b**2*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)**6/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**
10 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**
2) + 96*b**2*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)**4/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 +
144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) + 24*b**2*log(tan(c/2 + d*x/
2))*tan(c/2 + d*x/2)**2/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96
*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) - 96*b**2*tan(c/2 + d*x/2)**8/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 +
96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) -
96*b**2*tan(c/2 + d*x/2)**6/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6
+ 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2) - 96*b**2*tan(c/2 + d*x/2)**4/(24*d*tan(c/2 + d*x/2)**1
0 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 144*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 96*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 24*d*tan(c/2 + d*x/2)**2
), Eq(n, -3)), (-15*a**2*tan(c/2 + d*x/2)**12/(30*d*tan(c/2 + d*x/2)**11 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 300*d*t
an(c/2 + d*x/2)**7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 30*d*tan(c/2 + d*x/2)) - 210*a**2
*tan(c/2 + d*x/2)**10/(30*d*tan(c/2 + d*x/2)**11 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 300
*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 30*d*tan(c/2 + d*x/2)) - 625*a**2*tan(c/2 + d*x/2)**8/(30
*d*tan(c/2 + d*x/2)**11 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 +
150*d*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 30*d*tan(c/2 + d*x/2)) - 860*a**2*tan(c/2 + d*x/2)**6/(30*d*tan(c/2 + d*x/2)**11 +
150*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**3
+ 30*d*tan(c/2 + d*x/2)) - 625*a**2*tan(c/2 + d*x/2)**4/(30*d*tan(c/2 + d*x/2)**11 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**
9 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 30*d*tan(c/2 + d*x/2))
- 210*a**2*tan(c/2 + d*x/2)**2/(30*d*tan(c/2 + d*x/2)**11 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2
)**7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 30*d*tan(c/2 + d*x/2)) - 15*a**2/(30*d*tan(c/2
+ d*x/2)**11 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 150*d*tan(c
/2 + d*x/2)**3 + 30*d*tan(c/2 + d*x/2)) - 60*a*b*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**11/(30*d*tan(c
/2 + d*x/2)**11 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 150*d*ta
n(c/2 + d*x/2)**3 + 30*d*tan(c/2 + d*x/2)) - 300*a*b*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**9/(30*d*ta
n(c/2 + d*x/2)**11 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 150*d
*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 30*d*tan(c/2 + d*x/2)) - 600*a*b*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**7/(30*d
*tan(c/2 + d*x/2)**11 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 15
0*d*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 30*d*tan(c/2 + d*x/2)) - 600*a*b*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**5/(3
0*d*tan(c/2 + d*x/2)**11 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 +
150*d*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 30*d*tan(c/2 + d*x/2)) - 300*a*b*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**3
/(30*d*tan(c/2 + d*x/2)**11 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**
5 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 30*d*tan(c/2 + d*x/2)) - 60*a*b*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)/
(30*d*tan(c/2 + d*x/2)**11 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**5
+ 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 30*d*tan(c/2 + d*x/2)) + 60*a*b*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)**11/(30*
d*tan(c/2 + d*x/2)**11 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 1
50*d*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 30*d*tan(c/2 + d*x/2)) + 300*a*b*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)**9/(30*d*ta
n(c/2 + d*x/2)**11 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 150*d
*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 30*d*tan(c/2 + d*x/2)) + 600*a*b*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)**7/(30*d*tan(c/
2 + d*x/2)**11 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 150*d*tan
(c/2 + d*x/2)**3 + 30*d*tan(c/2 + d*x/2)) + 600*a*b*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)**5/(30*d*tan(c/2 +
d*x/2)**11 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 150*d*tan(c/2
+ d*x/2)**3 + 30*d*tan(c/2 + d*x/2)) + 300*a*b*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)**3/(30*d*tan(c/2 + d*x/
2)**11 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 150*d*tan(c/2 + d
*x/2)**3 + 30*d*tan(c/2 + d*x/2)) + 60*a*b*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)/(30*d*tan(c/2 + d*x/2)**11 +
150*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**3
+ 30*d*tan(c/2 + d*x/2)) - 240*a*b*tan(c/2 + d*x/2)**9/(30*d*tan(c/2 + d*x/2)**11 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**9
+ 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 30*d*tan(c/2 + d*x/2))
- 480*a*b*tan(c/2 + d*x/2)**7/(30*d*tan(c/2 + d*x/2)**11 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)*
*7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 30*d*tan(c/2 + d*x/2)) - 480*a*b*tan(c/2 + d*x/2)
**5/(30*d*tan(c/2 + d*x/2)**11 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2
)**5 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 30*d*tan(c/2 + d*x/2)) - 240*a*b*tan(c/2 + d*x/2)**3/(30*d*tan(c/2 + d*x/2)
**11 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 150*d*tan(c/2 + d*x
/2)**3 + 30*d*tan(c/2 + d*x/2)) + 60*b**2*tan(c/2 + d*x/2)**10/(30*d*tan(c/2 + d*x/2)**11 + 150*d*tan(c/2 + d*
x/2)**9 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 30*d*tan(c/2 + d
*x/2)) + 80*b**2*tan(c/2 + d*x/2)**8/(30*d*tan(c/2 + d*x/2)**11 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 300*d*tan(c/2 +
d*x/2)**7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 30*d*tan(c/2 + d*x/2)) + 232*b**2*tan(c/2
+ d*x/2)**6/(30*d*tan(c/2 + d*x/2)**11 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 300*d*tan(c/2
+ d*x/2)**5 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 30*d*tan(c/2 + d*x/2)) + 80*b**2*tan(c/2 + d*x/2)**4/(30*d*tan(c/2
+ d*x/2)**11 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**9 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 150*d*tan(c
/2 + d*x/2)**3 + 30*d*tan(c/2 + d*x/2)) + 60*b**2*tan(c/2 + d*x/2)**2/(30*d*tan(c/2 + d*x/2)**11 + 150*d*tan(c
/2 + d*x/2)**9 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**7 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**5 + 150*d*tan(c/2 + d*x/2)**3 + 30*d*tan(
c/2 + d*x/2)), Eq(n, -2)), (-15*a**2*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**12/(15*d*tan(c/2 + d*x/2)*
*12 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 225*d*tan(c/2 + d*x/
2)**4 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 15*d) - 90*a**2*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**10/(15*d*tan
(c/2 + d*x/2)**12 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 225*d*
tan(c/2 + d*x/2)**4 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 15*d) - 225*a**2*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2
)**8/(15*d*tan(c/2 + d*x/2)**12 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 300*d*tan(c/2 + d*x/
2)**6 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 15*d) - 300*a**2*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*t
an(c/2 + d*x/2)**6/(15*d*tan(c/2 + d*x/2)**12 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 300*d*
tan(c/2 + d*x/2)**6 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 15*d) - 225*a**2*log(tan(c/2 + d*
x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**4/(15*d*tan(c/2 + d*x/2)**12 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 225*d*tan(c/2 + d*x/
2)**8 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 15*d) - 90*a**2*log
(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)*tan(c/2 + d*x/2)**2/(15*d*tan(c/2 + d*x/2)**12 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 225*d*t
an(c/2 + d*x/2)**8 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 15*d)
- 15*a**2*log(tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1)/(15*d*tan(c/2 + d*x/2)**12 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 225*d*tan(c/2
+ d*x/2)**8 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 15*d) + 15*a*
*2*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)**12/(15*d*tan(c/2 + d*x/2)**12 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 225*d*t
an(c/2 + d*x/2)**8 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 15*d)
+ 90*a**2*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)**10/(15*d*tan(c/2 + d*x/2)**12 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 +
225*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**2 +
15*d) + 225*a**2*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)**8/(15*d*tan(c/2 + d*x/2)**12 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)
**10 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 90*d*tan(c/2 + d*x/
2)**2 + 15*d) + 300*a**2*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)**6/(15*d*tan(c/2 + d*x/2)**12 + 90*d*tan(c/2 +
d*x/2)**10 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 90*d*tan(c/2
+ d*x/2)**2 + 15*d) + 225*a**2*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)**4/(15*d*tan(c/2 + d*x/2)**12 + 90*d*ta
n(c/2 + d*x/2)**10 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 90*d*
tan(c/2 + d*x/2)**2 + 15*d) + 90*a**2*log(tan(c/2 + d*x/2))*tan(c/2 + d*x/2)**2/(15*d*tan(c/2 + d*x/2)**12 + 9
0*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 +
90*d*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 15*d) + 15*a**2*log(tan(c/2 + d*x/2))/(15*d*tan(c/2 + d*x/2)**12 + 90*d*tan(c/2 +
d*x/2)**10 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 90*d*tan(c/2
+ d*x/2)**2 + 15*d) - 60*a**2*tan(c/2 + d*x/2)**10/(15*d*tan(c/2 + d*x/2)**12 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 22
5*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 1
5*d) - 180*a**2*tan(c/2 + d*x/2)**8/(15*d*tan(c/2 + d*x/2)**12 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 225*d*tan(c/2 + d
*x/2)**8 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 15*d) - 240*a**2
*tan(c/2 + d*x/2)**6/(15*d*tan(c/2 + d*x/2)**12 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 300*
d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 15*d) - 180*a**2*tan(c/2 + d*x/
2)**4/(15*d*tan(c/2 + d*x/2)**12 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 300*d*tan(c/2 + d*x
/2)**6 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 15*d) - 60*a**2*tan(c/2 + d*x/2)**2/(15*d*tan(
c/2 + d*x/2)**12 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 225*d*t
an(c/2 + d*x/2)**4 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 15*d) + 60*a*b*tan(c/2 + d*x/2)**11/(15*d*tan(c/2 + d*x/2)**12
+ 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)*
*4 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 15*d) + 140*a*b*tan(c/2 + d*x/2)**9/(15*d*tan(c/2 + d*x/2)**12 + 90*d*tan(c/2
+ d*x/2)**10 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 90*d*tan(c/
2 + d*x/2)**2 + 15*d) + 312*a*b*tan(c/2 + d*x/2)**7/(15*d*tan(c/2 + d*x/2)**12 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 2
25*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**2 +
15*d) + 312*a*b*tan(c/2 + d*x/2)**5/(15*d*tan(c/2 + d*x/2)**12 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 225*d*tan(c/2 + d
*x/2)**8 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 15*d) + 140*a*b*
tan(c/2 + d*x/2)**3/(15*d*tan(c/2 + d*x/2)**12 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 300*d
*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 15*d) + 60*a*b*tan(c/2 + d*x/2)/
(15*d*tan(c/2 + d*x/2)**12 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**6
+ 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 15*d) + 30*b**2*tan(c/2 + d*x/2)**10/(15*d*tan(c/2 +
d*x/2)**12 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 225*d*tan(c/
2 + d*x/2)**4 + 90*d*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 15*d) + 100*b**2*tan(c/2 + d*x/2)**6/(15*d*tan(c/2 + d*x/2)**12 + 9
0*d*tan(c/2 + d*x/2)**10 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 +
90*d*tan(c/2 + d*x/2)**2 + 15*d) + 30*b**2*tan(c/2 + d*x/2)**2/(15*d*tan(c/2 + d*x/2)**12 + 90*d*tan(c/2 + d*
x/2)**10 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**8 + 300*d*tan(c/2 + d*x/2)**6 + 225*d*tan(c/2 + d*x/2)**4 + 90*d*tan(c/2 +
d*x/2)**2 + 15*d), Eq(n, -1)), (a**2*n**6*sin(c + d*x)*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**4/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 3
22*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 4*a**2*n**5*sin(c + d*x)**3*sin(c
+ d*x)**n*cos(c + d*x)**2/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068
*d*n + 5040*d) + 27*a**2*n**5*sin(c + d*x)*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**4/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 +
1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 8*a**2*n**4*sin(c + d*x)**5*sin(c + d*x)**n/(
d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 96*a**2*n**
4*sin(c + d*x)**3*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**2/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3
+ 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 295*a**2*n**4*sin(c + d*x)*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**4/(d*n**7 + 2
8*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 152*a**2*n**3*sin(c +
d*x)**5*sin(c + d*x)**n/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d
*n + 5040*d) + 892*a**2*n**3*sin(c + d*x)**3*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**2/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5
+ 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 1665*a**2*n**3*sin(c + d*x)*sin(c + d*x)**n
*cos(c + d*x)**4/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 504
0*d) + 1024*a**2*n**2*sin(c + d*x)**5*sin(c + d*x)**n/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*
n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 3984*a**2*n**2*sin(c + d*x)**3*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**2/(d*
n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 5104*a**2*n**
2*sin(c + d*x)*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**4/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 +
13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 2848*a**2*n*sin(c + d*x)**5*sin(c + d*x)**n/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n
**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 8464*a**2*n*sin(c + d*x)**3*sin(c + d*x
)**n*cos(c + d*x)**2/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n +
5040*d) + 8028*a**2*n*sin(c + d*x)*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**4/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*
n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 2688*a**2*sin(c + d*x)**5*sin(c + d*x)**n/(d*n**7 +
28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 6720*a**2*sin(c + d*
x)**3*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**2/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n
**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 5040*a**2*sin(c + d*x)*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**4/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d
*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 2*a*b*n**6*sin(c + d*x)**2*sin(c + d*
x)**n*cos(c + d*x)**4/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n
+ 5040*d) + 8*a*b*n**5*sin(c + d*x)**4*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**2/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960
*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 52*a*b*n**5*sin(c + d*x)**2*sin(c + d*x)**n*cos(c
+ d*x)**4/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) +
16*a*b*n**4*sin(c + d*x)**6*sin(c + d*x)**n/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13
132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 176*a*b*n**4*sin(c + d*x)**4*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**2/(d*n**7 + 28*d
*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 540*a*b*n**4*sin(c + d*x
)**2*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**4/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n*
*2 + 13068*d*n + 5040*d) + 256*a*b*n**3*sin(c + d*x)**6*sin(c + d*x)**n/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 196
0*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 1456*a*b*n**3*sin(c + d*x)**4*sin(c + d*x)**n*co
s(c + d*x)**2/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d
) + 2840*a*b*n**3*sin(c + d*x)**2*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**4/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n*
*4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 1376*a*b*n**2*sin(c + d*x)**6*sin(c + d*x)**n/(d*n**7
+ 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 5536*a*b*n**2*sin(
c + d*x)**4*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**2/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 131
32*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 7858*a*b*n**2*sin(c + d*x)**2*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**4/(d*n**7 + 28*d
*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 2816*a*b*n*sin(c + d*x)*
*6*sin(c + d*x)**n/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5
040*d) + 9288*a*b*n*sin(c + d*x)**4*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**2/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*
n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 10548*a*b*n*sin(c + d*x)**2*sin(c + d*x)**n*cos(c +
d*x)**4/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 16
80*a*b*sin(c + d*x)**6*sin(c + d*x)**n/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*
n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 5040*a*b*sin(c + d*x)**4*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**2/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 32
2*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 5040*a*b*sin(c + d*x)**2*sin(c + d
*x)**n*cos(c + d*x)**4/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n
+ 5040*d) + b**2*n**6*sin(c + d*x)**3*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**4/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960
*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 4*b**2*n**5*sin(c + d*x)**5*sin(c + d*x)**n*cos(c
+ d*x)**2/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) +
25*b**2*n**5*sin(c + d*x)**3*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**4/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 +
6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 8*b**2*n**4*sin(c + d*x)**7*sin(c + d*x)**n/(d*n**7 + 28*d
*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 80*b**2*n**4*sin(c + d*x
)**5*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**2/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n*
*2 + 13068*d*n + 5040*d) + 247*b**2*n**4*sin(c + d*x)**3*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**4/(d*n**7 + 28*d*n**6 +
322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 104*b**2*n**3*sin(c + d*x)**7*s
in(c + d*x)**n/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*
d) + 588*b**2*n**3*sin(c + d*x)**5*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**2/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n
**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 1219*b**2*n**3*sin(c + d*x)**3*sin(c + d*x)**n*cos(c
+ d*x)**4/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) +
448*b**2*n**2*sin(c + d*x)**7*sin(c + d*x)**n/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 1
3132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 1936*b**2*n**2*sin(c + d*x)**5*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**2/(d*n**7 + 2
8*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 3112*b**2*n**2*sin(c
+ d*x)**3*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**4/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132
*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 736*b**2*n*sin(c + d*x)**7*sin(c + d*x)**n/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 +
1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 2768*b**2*n*sin(c + d*x)**5*sin(c + d*x)**n*c
os(c + d*x)**2/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*
d) + 3796*b**2*n*sin(c + d*x)**3*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**4/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**
4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 384*b**2*sin(c + d*x)**7*sin(c + d*x)**n/(d*n**7 + 28*d
*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d) + 1344*b**2*sin(c + d*x)**
5*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**2/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2
+ 13068*d*n + 5040*d) + 1680*b**2*sin(c + d*x)**3*sin(c + d*x)**n*cos(c + d*x)**4/(d*n**7 + 28*d*n**6 + 322*d*
n**5 + 1960*d*n**4 + 6769*d*n**3 + 13132*d*n**2 + 13068*d*n + 5040*d), True))

Maxima [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.20 (sec) , antiderivative size = 178, normalized size of antiderivative = 1.05 \[ \int \cos ^5(c+d x) \sin ^n(c+d x) (a+b \sin (c+d x))^2 \, dx=\frac {\frac {b^{2} \sin \left (d x + c\right )^{n + 7}}{n + 7} + \frac {2 \, a b \sin \left (d x + c\right )^{n + 6}}{n + 6} + \frac {a^{2} \sin \left (d x + c\right )^{n + 5}}{n + 5} - \frac {2 \, b^{2} \sin \left (d x + c\right )^{n + 5}}{n + 5} - \frac {4 \, a b \sin \left (d x + c\right )^{n + 4}}{n + 4} - \frac {2 \, a^{2} \sin \left (d x + c\right )^{n + 3}}{n + 3} + \frac {b^{2} \sin \left (d x + c\right )^{n + 3}}{n + 3} + \frac {2 \, a b \sin \left (d x + c\right )^{n + 2}}{n + 2} + \frac {a^{2} \sin \left (d x + c\right )^{n + 1}}{n + 1}}{d} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^5*sin(d*x+c)^n*(a+b*sin(d*x+c))^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

(b^2*sin(d*x + c)^(n + 7)/(n + 7) + 2*a*b*sin(d*x + c)^(n + 6)/(n + 6) + a^2*sin(d*x + c)^(n + 5)/(n + 5) - 2*
b^2*sin(d*x + c)^(n + 5)/(n + 5) - 4*a*b*sin(d*x + c)^(n + 4)/(n + 4) - 2*a^2*sin(d*x + c)^(n + 3)/(n + 3) + b
^2*sin(d*x + c)^(n + 3)/(n + 3) + 2*a*b*sin(d*x + c)^(n + 2)/(n + 2) + a^2*sin(d*x + c)^(n + 1)/(n + 1))/d

Giac [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 575 vs. \(2 (170) = 340\).

Time = 0.39 (sec) , antiderivative size = 575, normalized size of antiderivative = 3.38 \[ \int \cos ^5(c+d x) \sin ^n(c+d x) (a+b \sin (c+d x))^2 \, dx=\frac {\frac {{\left (n^{2} \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right )^{5} + 4 \, n \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right )^{5} - 2 \, n^{2} \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right )^{3} + 3 \, \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right )^{5} - 12 \, n \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right )^{3} + n^{2} \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right ) - 10 \, \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right )^{3} + 8 \, n \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right ) + 15 \, \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right )\right )} a^{2}}{n^{3} + 9 \, n^{2} + 23 \, n + 15} + \frac {2 \, {\left (n^{2} \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right )^{6} + 6 \, n \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right )^{6} - 2 \, n^{2} \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right )^{4} + 8 \, \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right )^{6} - 16 \, n \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right )^{4} + n^{2} \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right )^{2} - 24 \, \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right )^{4} + 10 \, n \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right )^{2} + 24 \, \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right )^{2}\right )} a b}{n^{3} + 12 \, n^{2} + 44 \, n + 48} + \frac {{\left (n^{2} \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right )^{7} + 8 \, n \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right )^{7} - 2 \, n^{2} \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right )^{5} + 15 \, \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right )^{7} - 20 \, n \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right )^{5} + n^{2} \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right )^{3} - 42 \, \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right )^{5} + 12 \, n \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right )^{3} + 35 \, \sin \left (d x + c\right )^{n} \sin \left (d x + c\right )^{3}\right )} b^{2}}{n^{3} + 15 \, n^{2} + 71 \, n + 105}}{d} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^5*sin(d*x+c)^n*(a+b*sin(d*x+c))^2,x, algorithm="giac")

[Out]

((n^2*sin(d*x + c)^n*sin(d*x + c)^5 + 4*n*sin(d*x + c)^n*sin(d*x + c)^5 - 2*n^2*sin(d*x + c)^n*sin(d*x + c)^3
+ 3*sin(d*x + c)^n*sin(d*x + c)^5 - 12*n*sin(d*x + c)^n*sin(d*x + c)^3 + n^2*sin(d*x + c)^n*sin(d*x + c) - 10*
sin(d*x + c)^n*sin(d*x + c)^3 + 8*n*sin(d*x + c)^n*sin(d*x + c) + 15*sin(d*x + c)^n*sin(d*x + c))*a^2/(n^3 + 9
*n^2 + 23*n + 15) + 2*(n^2*sin(d*x + c)^n*sin(d*x + c)^6 + 6*n*sin(d*x + c)^n*sin(d*x + c)^6 - 2*n^2*sin(d*x +
c)^n*sin(d*x + c)^4 + 8*sin(d*x + c)^n*sin(d*x + c)^6 - 16*n*sin(d*x + c)^n*sin(d*x + c)^4 + n^2*sin(d*x + c)
^n*sin(d*x + c)^2 - 24*sin(d*x + c)^n*sin(d*x + c)^4 + 10*n*sin(d*x + c)^n*sin(d*x + c)^2 + 24*sin(d*x + c)^n*
sin(d*x + c)^2)*a*b/(n^3 + 12*n^2 + 44*n + 48) + (n^2*sin(d*x + c)^n*sin(d*x + c)^7 + 8*n*sin(d*x + c)^n*sin(d
*x + c)^7 - 2*n^2*sin(d*x + c)^n*sin(d*x + c)^5 + 15*sin(d*x + c)^n*sin(d*x + c)^7 - 20*n*sin(d*x + c)^n*sin(d
*x + c)^5 + n^2*sin(d*x + c)^n*sin(d*x + c)^3 - 42*sin(d*x + c)^n*sin(d*x + c)^5 + 12*n*sin(d*x + c)^n*sin(d*x
+ c)^3 + 35*sin(d*x + c)^n*sin(d*x + c)^3)*b^2/(n^3 + 15*n^2 + 71*n + 105))/d

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 19.75 (sec) , antiderivative size = 887, normalized size of antiderivative = 5.22 \[ \int \cos ^5(c+d x) \sin ^n(c+d x) (a+b \sin (c+d x))^2 \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

int(cos(c + d*x)^5*sin(c + d*x)^n*(a + b*sin(c + d*x))^2,x)

[Out]

(sin(c + d*x)*sin(c + d*x)^n*(44*n + 12*n^2 + n^3 + 48)*(1272*a^2*n + 581*b^2*n + 4200*a^2 + 525*b^2 + 152*a^2
*n^2 + 8*a^2*n^3 + 59*b^2*n^2 + 3*b^2*n^3)*1i)/(64*d*(n*13068i + n^2*13132i + n^3*6769i + n^4*1960i + n^5*322i
+ n^6*28i + n^7*1i + 5040i)) + (sin(c + d*x)^n*sin(5*c + 5*d*x)*(4*a^2*n - b^2*n + 28*a^2 - 21*b^2)*(324*n +
260*n^2 + 95*n^3 + 16*n^4 + n^5 + 144)*1i)/(64*d*(n*13068i + n^2*13132i + n^3*6769i + n^4*1960i + n^5*322i + n
^6*28i + n^7*1i + 5040i)) - (b^2*sin(c + d*x)^n*sin(7*c + 7*d*x)*(1764*n + 1624*n^2 + 735*n^3 + 175*n^4 + 21*n
^5 + n^6 + 720)*1i)/(64*d*(n*13068i + n^2*13132i + n^3*6769i + n^4*1960i + n^5*322i + n^6*28i + n^7*1i + 5040i
)) + (sin(c + d*x)^n*sin(3*c + 3*d*x)*(92*n + 56*n^2 + 13*n^3 + n^4 + 48)*(184*a^2*n + 40*b^2*n + 700*a^2 - 35
*b^2 + 12*a^2*n^2 + 3*b^2*n^2)*1i)/(64*d*(n*13068i + n^2*13132i + n^3*6769i + n^4*1960i + n^5*322i + n^6*28i +
n^7*1i + 5040i)) + (a*b*sin(c + d*x)^n*(n*16958i + n^2*10137i + n^3*2788i + n^4*398i + n^5*30i + n^6*1i + 924
0i))/(8*d*(n*13068i + n^2*13132i + n^3*6769i + n^4*1960i + n^5*322i + n^6*28i + n^7*1i + 5040i)) - (a*b*sin(c
+ d*x)^n*cos(6*c + 6*d*x)*(n*2038i + n^2*1849i + n^3*820i + n^4*190i + n^5*22i + n^6*1i + 840i))/(16*d*(n*1306
8i + n^2*13132i + n^3*6769i + n^4*1960i + n^5*322i + n^6*28i + n^7*1i + 5040i)) - (a*b*sin(c + d*x)^n*cos(4*c
+ 4*d*x)*(n*5694i + n^2*4633i + n^3*1764i + n^4*334i + n^5*30i + n^6*1i + 2520i))/(8*d*(n*13068i + n^2*13132i
+ n^3*6769i + n^4*1960i + n^5*322i + n^6*28i + n^7*1i + 5040i)) - (a*b*sin(c + d*x)^n*cos(2*c + 2*d*x)*(n*2049
0i + n^2*9159i + n^3*1228i - n^4*62i - n^5*22i - n^6*1i + 12600i))/(16*d*(n*13068i + n^2*13132i + n^3*6769i +
n^4*1960i + n^5*322i + n^6*28i + n^7*1i + 5040i))